Геннадий Кувшинов родился 5 мая 1965 года в Липецке. В 1989 году окончил Липецкий педагогический институт. С 1992 года служил в пожарной охране.
22 октября 1997 года в 4 часа 55 мин. дежурный караул ПЧ-7 прибыл на пожар в жилом доме N 13 по ул. Ленина Липецка. Горела квартира на 11 этаже. При проведении разведки звеном газодымозащитников, в составе которого находился сержант Кувшинов, произошла вспышка продуктов неполного сгорания. При спасении людей из огня Геннадий Анатольевич погиб.
Указом президента Российской Федерации от 15 июня 1998 года № 845 за мужество и героизм, проявленные при тушении пожара и спасение людей сержант внутренней службы Г.А. Кувшинов награжден орденом Мужества (посмертно). Решением сессии Липецкого городского Совета депутатов от 16 января 1998 года проезд в 19 микрорайоне назван его именем.
В средней школе № 65 города Липецка, расположенной в доме № 3 по проезду Кувшинова, создан музей Геннадия Кувшинова.
6 мая 2011 года на доме № 91 по улице Московской, где проживал Кувшинов, установлена мемориальная доска герою-пожарному.